Gerador de Curva em forma de sino da distribuição normal
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Rótulos incluídos neste diagrama
- Curva normal
- Média μ
- Desvio-padrão σ
- Eixo x
- Ponto de inflexão μ-σ
- Ponto de inflexão μ+σ
- Intervalo μ-σ a μ+σ: 68,2%
- Intervalo μ-2σ a μ+2σ: 95,4%
- Intervalo μ-3σ a μ+3σ: 99,7%
- Área sob a curva
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OUTPUT · 16:9 · PNGO que este diagrama mostra
A figura representa a distribuição normal, um modelo contínuo, simétrico e unimodal cuja curva tem formato de sino. O ponto mais alto coincide com a média μ, que também é a mediana e a moda. No eixo horizontal, os valores são organizados em função da distância à média, medida pelo desvio-padrão σ, desde μ − 3σ até μ + 3σ. A área total sob a curva é igual a 1, ou 100%, e corresponde à probabilidade de todos os resultados possíveis. As regiões coloridas mostram a concentração progressiva dos dados ao redor da média.
A regra empírica relaciona cada intervalo simétrico à proporção de observações nele contida: aproximadamente 68,2% ficam entre μ − σ e μ + σ; 95,4%, entre μ − 2σ e μ + 2σ; e 99,7%, entre μ − 3σ e μ + 3σ. As faixas devem ser apresentadas como intervalos encaixados, e não como parcelas independentes. Os pontos μ − σ e μ + σ são pontos de inflexão, nos quais a concavidade da curva muda. O parâmetro μ desloca o centro da distribuição, enquanto σ controla sua dispersão: quanto maior σ, mais larga e baixa é a curva.
O que um diagrama correto deve incluir
- Curva contínua e simétrica em forma de sino — desenhe os dois lados como imagens espelhadas em relação à reta vertical que passa por μ.
- Média μ no centro e no ponto máximo — a marca central deve coincidir com a média, a mediana, a moda e o pico da densidade.
- Eixo horizontal de μ − 3σ a μ + 3σ — divida-o em intervalos regulares de um desvio-padrão e identifique corretamente os sinais.
- Percentual de 68,2% em μ ± σ — destaque a faixa central entre μ − σ e μ + σ, sem atribuir 68,2% a cada metade.
- Percentuais de 95,4% e 99,7% — mostre os intervalos μ ± 2σ e μ ± 3σ como regiões simétricas e progressivamente maiores.
- Pontos de inflexão em μ − σ e μ + σ — assinale onde a curva deixa de ser côncava para baixo e passa a ser côncava para cima.
- Área total igual a 100% — faça a curva aproximar-se do eixo horizontal nas caudas sem tocá-lo, pois seu suporte se estende indefinidamente.
Erros comuns
- Desenhar uma curva assimétrica ou colocar μ fora do pico, contrariando a simetria característica da distribuição normal.
- Marcar −3σ, −2σ e −σ como valores absolutos quando o eixo não está padronizado; nesse caso, os rótulos corretos são μ − 3σ, μ − 2σ e μ − σ.
- Somar 68,2%, 95,4% e 99,7% como áreas separadas, ignorando que esses intervalos são encaixados e contêm uns aos outros.
- Colocar os pontos de inflexão em μ ± 2σ ou confundi-los com os extremos das caudas; eles ocorrem exatamente em μ ± σ.
- Fazer a curva tocar o eixo horizontal em ±3σ, como se a distribuição terminasse nesses pontos, embora suas caudas continuem além deles.
Dicas de ensino
A figura pode ser usada após a introdução de média, variância e desvio-padrão, tanto no ensino médio quanto na universidade. O professor pode perguntar onde se encontra a maior concentração de dados, como a curva muda quando σ aumenta e que intervalo contém cerca de 95% das observações. Em seguida, pode relacionar as áreas ao cálculo de probabilidades, à padronização por escore z e à interpretação de dados experimentais. A leitura correta de μ ± kσ prepara os estudantes para questões sobre regra empírica, comparação de dispersões, percentis e valores atípicos.
Perguntas sobre este diagrama
Por que os pontos de inflexão ficam em μ − σ e μ + σ?
Nesses pontos, a segunda derivada da função densidade normal muda de sinal, indicando uma mudança de concavidade. Entre eles, a curva é côncava para baixo; fora deles, torna-se côncava para cima.
Os percentuais 68,2%, 95,4% e 99,7% valem para qualquer conjunto de dados?
Não. Eles são aproximações da regra empírica para distribuições normais ou aproximadamente normais. Em distribuições muito assimétricas, multimodais ou com caudas diferentes, essas proporções podem não se aplicar.
Qual é a diferença entre usar μ ± 3σ e usar o eixo padronizado de −3 a +3?
No eixo original, as posições são expressas como μ + zσ, por exemplo, μ − 2σ. Após a padronização, usa-se z = (x − μ)/σ, a média passa a ser 0 e os mesmos pontos são marcados simplesmente como −3, −2, −1, 0, 1, 2 e 3.
